命题动向：通过近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力． 题型1 求离散型随机变量的均值与方差 例1 (2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率． 解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A＝B∪C，且B与C互斥， 由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)， 故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝. 所以，事件A发生的概率为. [冲关策略] 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 变式训练1 某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为. (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%? (2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值． 解 (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为. 该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则X～B， ∴P(X＝0)＝C×4＝，∴P(X＝1)＝C××3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝， P(X＝3)＝C×3×＝，P(X＝4)＝C×4＝. ∴X的分布列为 设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n＋1个互斥事件的和事件，则 ∵<90%≤，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%. (2)设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝， ∴Y的分布列为 则E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(万元)． 故该厂每月获利的均值为万元． 题型2 概率与统计的综合问题 例2 (2019·桂林模拟)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z) ... ...
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