人教九年级数学最全《二次函数》知识&例题详解 一、什么是二次函数？ 【引例】一个正方体的棱长为a，它的表面积为S，于是我们可以得到函数关系式：S=6a2，这里a是自变量，S是a的函数，因为这里自变量的最高次数是2，所以我们把它称为二次函数 我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义)： 我们根据列表绘制出它的图像： ? 我们发现： 二次函数的图像是一条抛物线 二、二次函数的图象研究 刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线，那么这条抛物线有什么特点那？ 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0） （1）我们先来研究a与抛物线y=ax2+bx+c图像的联系 我们发现： 当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下 观察上面的抛物线我们发现： 当a>0，a越大，开口越小 当a<0，a越大，开口越大 即|a|越大，开口越小 （2）抛物线与y轴的交点 对于y=ax2+bx+c，令x=0，得y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c) （3）抛物线与x轴的交点 对于y=ax2+bx+c，令y=0，就转化成了一元二次方程ax2+bx+c=0 我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b2-4ac来判断， ①当△>0时，方程有两个不相等的实根 ②当△=0时，方程有两个相等的实根 ③当△<0时，方程无实根 而一元二次方程ax2+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是相对应的 ①当△>0时，抛物线与x轴有两个交点 所以，当给出两个交点时，我们也可以把函数关系式写成： 我们也把这个关系式叫做交点式 ②当△=0时，抛物线与x轴有一个交点 ③当△<0时，抛物线与x轴无交点 （4）抛物线的顶点及对称性 不难发现，抛物线是个轴对称图形，那么它的对称轴是什么那？ 我们随便找一个二次函数y=2x2-4x+1，我们对它进行配方，得到y=2(x-1)2-1 我们利用列表法描点： 根据图像我们发现： 此函数图像的对称轴为x=1 当x<1，即在对称轴左侧时，抛物线呈递减趋势； 当x>1，即在对称轴右侧时，抛物线呈增强趋势； 当x=1，即在对称轴上时，y=-1， 而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)2-1的顶点 下面我们对一般情况进行分析： 对二次函数一般形式y=ax2+bx+c进行配方得： 因此抛物线y=ax2+bx+c的 对称轴： 顶点坐标： 所以我们也把 称为顶点式 （5）抛物线的增减性与最值 观察图像，我们发现： ①若a>0 ②若a<0 三、二次函数图象分析常用图 四、二次函数题型归纳及做题技巧 类型一 ? 二次函数的概念 【知识点】 判断二次函数解析式的三个特征： ①整式；②a≠0；③化简后x的最高次数是2 例题1??下列函数中属于二次函数的是（ ?） A. y = 2x + 1 ? ? ?B. y = (x - 1)2 - x2 C. y = 2x2 ? ? ? ? ? D. 【提示】 根据二次函数解析式三个特征 例题2 ?已知是y关于x的二次函数，那么m的值为（ ? ） A. -2 ? ? B. 2 ? ? C. ±2 ? ? D. 0 【提示】 根据二次函数解析式三个特征 类型二 ? 二次函数的图像和性质 【知识点】 二次函数y=ax2+bx+c图像性质 1、根据a判断开口方向，|a|判断开口大小 ①a>0，开口向上；a<0，开口向下 ②|a|越大开口越小， ? ? |a|相等，抛物线的开口大小，形状相同 2、根据c判断与y轴的交点位置 ①c>0，交于y轴正半轴 ②c<0，交于y轴负半轴 ③c=0，抛物线经过原点 3、根据△判断交点个数 ①△>0，与x轴有2个交点 ②△=0，与x轴有1个交点 ③△<0，与x轴无交点 4、对称轴 对称轴是直线x = -b/2a ①b=0时，对称轴为y轴 ②b/a>0（即a、b同号），对称轴在y轴左侧 ③b/a<0（即a、b异号），对称轴在y轴右侧 5、根据开口方向和对称轴判断增减性 ①a>0，对称轴左侧递减，右侧递增 ②a<0，对称轴左侧递增，右侧递减 6、看图象判定代数式的值或范围 ①判断a，b，c的符号和取值 根据开口方向及大小，对称轴在y轴哪侧，与y轴交点判断 ②如何得到a±b+c的值或范围 x取±1时可得出 ③ ... ...
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