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课件网) 第六章 数 列 §6.1 数列的概念及其表示 高考文数 (课标专用) 考 点 数列的概念及其表示 (2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,?-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 五年高考 A组???统一命题·课标卷题组 解析 (1)由题意得a2=?,a3=?.?(5分) (2)由?-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以?=?. 故{an}是首项为1,公比为?的等比数列,因此an=?.?(12分) 思路分析????(1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2求出a3.(2)把递推公式因式分解得出{an} 是等比数列,求出其通项公式. B组????自主命题·省(区、市)卷题组 考 点 数列的概念及其表示 1.(2019上海,8,5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5= ????. 答案????? 解析????n=1时,S1+a1=2,∴a1=1. n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an=?an-1(n≥2), ∴{an}是以1为首项,?为公比的等比数列, ∴S5=?=?. 2.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列?前10项的和为 ???? ????. 答案????? 解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),则有an-a1=1+2+3+…+ n-1+(n-1)(n≥2),因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n(n≥2),即an=?(n≥2),又当n=1时,a1=1也适合 上式,故an=?(n∈N*),所以?=?=2?,从而?+?+?+…+?=2×?+2× ?+2×?+…+2×?=2×?=? . 3.(2016浙江,17,15分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式an; (2)求数列{|an-n-2|}的前n项和. 解析 (1)由题意得?则? 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*. (2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,则b1=2,b2=1. 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n≥3时,Tn=3+?-?=?, 所以Tn=? 易错警示????(1)当n≥2时,得出an+1=3an,要注意a1与a2是否满足此关系式. (2)在去掉绝对值时,要考虑n=1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后Tn应分n=1与n≥2 两段来写. 1.(2019浙江,10,4分)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=?+b,n∈N*,则?( ) A.当b=?时,a10>10 ????B.当b=?时,a10>10 C.当b=-2时,a10>10 ????D.当b=-4时,a10>10 C组 教师专用题组 答案????A 本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理 运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用. 令an+1=an,即?+b=an,即?-an+b=0,若有解, 则Δ=1-4b≥0,即b≤?, ∴当b≤?时,an=?,n∈N*,即存在b≤?,且a=?或?,使数列{an}为常数列, B、C、D选项中,b≤?成立,故存在a=?<10, 使an=?(n∈N*),排除B、C、D. 对于A,∵b=?,∴a2=?+?≥?,a3=?+?≥?+?=?,a4≥?+?=?, ∴a5>?,a6>?,…,a10>?, 而?=?=1+?×?+?×?+…=1+4+? +…>10.故a10>10. 2.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{an}满足an+1=?,a8=2,则a1= ????. 答案????? 解析 解法一:由an+1=?,得an=1-?, ∵a8=2,∴a7=1-?=?, a6=1-?=-1,a5=1-?=2,……, ∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7=?. 解法二:根据an+1=?递推得a8=?=?=1-?=1-?=a5=?=?=1-?=1- ?=a2=?,因为a8=2,所以a1=?. 3.(2015浙江,17,15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+?b2+?b3+…+?bn= bn+1-1(n∈N*). (1)求an与bn; (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn. 解析 (1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*). 由题意知: 当n=1时,b1=b2-1,故b2=2. 当n≥2时,?bn=bn+1-bn, 整理得?=?, 所以bn=n(n∈N*). (2)由(1)知anbn=n·2n, 因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+n ... ...
