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课件网) 高考数学 (北京专用) 第十章 圆锥曲线 §10.1 椭圆及其性质 A组 自主命题·北京卷题组 五年高考 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2019北京文,19,14分)已知椭圆C:?+?=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1). (1)求椭圆C的方程; (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线 AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点. 解析 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学生用方程思想、 数形结合思想、分类讨论解决综合问题的能力,体现了逻辑推理、直观想象和数学运算的核 心素养. (1)由题意得,b2=1,c=1. 所以a2=b2+c2=2. 所以椭圆C的方程为?+y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则直线AP的方程为y=?x+1. 令y=0,得点M的横坐标xM=-?. 又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=?. 同理,|ON|=?. 由?得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0. 则x1+x2=-?,x1x2=?. 所以|OM|·|ON|=?·? =? =? =2?. 又|OM|·|ON|=2,所以2?=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0). 2.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 ?. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5. 解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0). 由题意得? 解得c=?. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为?+y2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m≠±2,且n≠0. 直线AM的斜率kAM=?,故直线DE的斜率kDE=-?. 所以直线DE的方程为y=-?(x-m). 直线BN的方程为y=?(x-2). 联立? 解得点E的纵坐标yE=-?. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-?n. 又S△BDE=?|BD|·|yE|=?|BD|·|n|, S△BDN=?|BD|·|n|, 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5. 易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x= ty+n,则要考虑斜率为0的情况. 考点二 椭圆的几何性质 1.(2019北京理,4,5分)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的离心率为?,则?( ) A.a2=2b2 ????B.3a2=4b2 ????C.a=2b ????D.3a=4b 答案????B 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算 能力;考查的核心素养是数学运算. 由题意知?=e2=?, 整理得3a2=4b2,故选B. 易错警示????椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别: (1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2. 2.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:?+?=1(a>b>0),双曲线N:?-?=1.若双曲线N的两条渐近 线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为???? ????;双曲线N的离心率为 ????. 答案?????-1;2 解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭 圆M的两个焦点. ? ∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=?x, ∴?=?.设m=k,则n=?k,则双曲线N的离心率e2=?=2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=?c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(?+1)c=2a,∴椭 圆M的离心率e1=?=?=?=?-1. 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为?,代入椭圆M的方程,并结 合a,b,c的关系,联立得方程组?解得?=?-1?. 方法总结????求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求 出c与a的比值,即得离心率. 3.(2015北京文,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A, B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2 ... ...
