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课件网) 第二十章 概率统计 §20.1 离散型随机变量及其分布列、均值和方差 高考数学 (江苏省专用) 五年高考 A组????自主命题·江苏卷题组 1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1), (n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点,用 随机变量X表示它们之间的距离. (1)当n=1时,求X的概率分布; (2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示). 解析 本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思 维能力和推理论证能力.满分10分. (1)当n=1时,X的所有可能取值是1,?,2,?. X的概率分布为 P(X=1)=?=?,P(X=?)=?=?, P(X=2)=?=?,P(X=?)=?=?. (2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点. 因为P(X≤n)=1-P(X>n),所以仅需考虑X>n的情况. ①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法; ②若b=0,d=1,则AB=?≤?,所以X>n当且仅当AB=?,此时a=0,c=n或a=n,c=0, 有2种取法; ③若b=0,d=2,则AB=?≤?.因为当n≥3时,?≤n,所以X>n当且仅当AB= ?,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法; ④若b=1,d=2,则AB=?≤?,所以X>n当且仅当AB=?,此时a=0,c=n或a=n,c=0, 有2种取法. 综上,当X>n时,X的所有可能取值是?和?,且 P(X=?)=?,P(X=?)=?. 因此,P(X≤n)=1-P(X=?)-P(X=?)=1-?. 2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完 全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其 中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n). 1 2 3 … m+n (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P; (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)< ?. 解析 本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其 性质,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)解法一:若只考虑球的黑白差异(即同色球之间是不加区别的),编号为2的抽屉内放的是黑 球的概率P=?=?. 解法二:若将所有的球都看作不同的,则P=?=?. 解法三:若只考虑第二次放球,则P=?. (2)随机变量X的概率分布为: X ? ? ? … ? … ? P ? ? ? … ? … ? 随机变量X的期望为: E(X)=??·?=???·?. 所以E(X)
