（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第十八章数学归纳法及其应用 课件52张

(课件网) 第十八章　数学归纳法及其应用 高考数学 (江苏省专用) (2015江苏,23,10分)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a ∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值; (2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 五年高考 A组????自主命题·江苏卷题组 解析　(1)f(6)=13. (2)当n≥6时, f(n)=?(t∈N*). 下面用数学归纳法证明: ①当n=6时, f(6)=6+2+?+?=13,结论成立; ②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3, k+1)中产生,分以下情形讨论: 1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3 =k+2+?+?+3 =(k+1)+2+?+?,结论成立; 2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+?+?+1 =(k+1)+2+?+?,结论成立; 3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+?+?+2 =(k+1)+2+?+?,结论成立; 4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+?+?+2 =(k+1)+2+?+?,结论成立; 5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+?+?+2 =(k+1)+2+?+?,结论成立; 6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+?+?+1 =(k+1)+2+?+?,结论成立. 综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立. 易错警示　因为f(n)的表达式是分段形式,所以n由k变成k+1时需要验证分段表达式中的不同 形式. B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　数学归纳法及其应用 1.(2017浙江,22,15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 证明:当n∈N*时, (1)00. 当n=1时,x1=1>0. 假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0, 则00. 因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1. 因此00(x>0). 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0, 因此?-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0, 故2xn+1-xn≤?(n∈N*). (3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥?. 由?≥2xn+1-xn得?-?≥2?>0, 所以?-?≥2?≥…≥2n-1?=2n-2, 故xn≤?.综上,?≤xn≤?(n∈N*). 方法总结　1.证明数列单调性的方法. ①差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断 其符号. ②商比法:作商?,判断?与1的大小,同时注意an的正负. ③数学归纳法. ④反证法:例如求证:n∈N*,an+10), 则有n≥2时,an=a1·?·?·…·?≤a1qn-1(其中a1>0). ④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{an}放缩成等比数列{bn},求和后,再进行适 当放缩. 2.(2015湖北,22,14分)已知数列{an}的各项均为正数,bn=?an(n∈N+),e为自然对数的底数. (1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较?与e的大小; (2)计算?,?,?,由此推测计算?的公式,并给出证明; (3)令cn=(a1a2…an?,数列{an},{cn}的前n项和 ... ...