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课件网) 第五章 平面向量 §5.1 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算 高考数学 (江苏省专用) 五年高考 A组????自主命题·江苏卷题组 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量?,?,?的模分别为1,1,?,?与?的夹角 为α,且tan α=7,?与?的夹角为45°.若?=m?+n?(m,n∈R),则m+n= ????. ? 答案 3 解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:∵tan α=7,α∈[0,π], ∴cos α=?,sin α=?, ∵?与?的夹角为α, ∴?=?, ∵?=m?+n?,|?|=|?|=1,|?|=?, ∴?=?,① 又∵?与?的夹角为45°, ∴?=?=?,② 又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45° =?×?-?×?=-?, ∴?·?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?, 将其代入①②得m-?n=?, -?m+n=1, 两式相加得?m+?n=?, 所以m+n=3. 解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则?=m?,?=n?, 由正弦定理得?=?=?, ∵|?|=?,由解法一知,sin α=?,cos α=?, ∴|?|=?=?=?, |?|=?=?=?, 又?=m?+n?=?+?,|?|=|?|=1, ∴m=?,n=?, ∴m+n=3. 方法总结 对于所给出的向量等式的处理可以从以下三个方面进行:一是通过向量的平行四 边形法则,转化为三角形中的边角的关系,应用正弦定理、余弦定理来加以解决;二是通过向量 的线性运算来进行求解;三是通过乘相同的向量,从而将向量等式转化为数量等式来加以解决. 2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 ????. 答案 -3 解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得?解得? 从而m-n=-3. 名师点睛 明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面向量基本定理的 应用.向量共线的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.向量垂直的充 要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0. B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 向量的线性运算与几何意义 1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确 的是 ????. ①?=??-??;②?=??-??; ③?=??+??;④?=??+??. 答案 ① 解析 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. ∵E是AD的中点,∴?=-??,∴?=?+?=-??+?,又∵D为BC的中点,∴?=?(?+ ?),因此?=-?(?+?)+?=??-??. 题型归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 2.(2017天津文,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若?=2?,?=λ?-?(λ∈R),且 ?·?=-4,则λ的值为 ????. 答案????? 解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由?=2?得?=??+??, 所以?·?=?·(λ?-?)=?λ?·?-??+?λ?-??·?, 又?·?=3×2×cos 60°=3,?=9,?=4, 所以?·?=λ-3+?λ-2=?λ-5=-4, 解得λ=?. ? 思路分析 根据?=2?得?=??+??,利用?·?=-4以及向量的数量积建立关于λ的 方程,从而求得λ的值. 一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠ BAC=60°,所以B(3,0),C(1,?),又?=2?,所以D?,所以?=?,而?=λ?-?= λ(1,?)-(3,0)=(λ-3,?λ),因此?·?=?(λ-3)+?×?λ=?λ-5=-4,解得λ=?. ? 3.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的 ... ...
