（北京卷）十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文（含解析）

专题04导数及其应用 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 导数综合问题 2019年北京文科20 解答题 2018 导数综合问题 2018年北京文科19 解答题 2017 导数综合问题 2017年北京文科20 解答题 2016 导数综合问题 2016年北京文科20 解答题 2015 导数综合问题 2015年北京文科19 解答题 2014 导数综合问题 2014年北京文科20 解答题 2012 导数综合问题 2012年北京文科18 解答题 2011 导数综合问题 2011年北京文科18 解答题 2010 导数综合问题 2010年北京文科18 历年高考真题汇编 1．【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程； （Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x； （Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）， 由f′（x）＝1得x（x）＝0， 得． 又f（0）＝0，f（）， ∴y＝x和， 即y＝x和y＝x； （Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x， 只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0， 令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]， 则g′（x）， 可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正， ∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增， 又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0， ∴﹣6≤g（x）≤0， ∴x﹣6≤f（x）≤x； （Ⅲ）由（Ⅱ）可得， F（x）＝|f（x）﹣（x+a）| ＝|f（x）﹣x﹣a| ＝|g（x）﹣a| ∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0， 令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|， 则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了， ①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a， 此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3； ②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|， ∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a， 也是a＝﹣3时，M（a）最小为3． 综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3． 2．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex． （Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex的导数为 f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex． 曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0， 可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0， 解得a； （Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]ex＝（x﹣1）（ax﹣1）ex， 若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减． x＝1处f（x）取得极大值，不符题意； 若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值； 若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（x）在x＝1处取得极小值； 若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增， 可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意； 若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（1，+∞）． 3．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝excosx﹣x． （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0， 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1； （2）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1， 则g（x）的导数为g′（x）＝ex ... ...