数学归纳法教学设计 课标分析 1知识目标? 使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤. 2能力目标? 培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力. 3情感目标 ?使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验. 重点、难点 重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路. 难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用. 教学过程 ?1.从思考题中引入课题 （1）、已知数列， （1）求出其前四项，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？ （2）、某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的 【设计意图】逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法———数学归纳法”． 2.数学归纳法概念的形成 数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： （1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立； （2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立； 根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立. 3、数学归纳法的应用 例1. 用数学归纳法证明： 【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察———归纳———猜想———证明”． 【练习1】用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 【设计意图】根据例1，学生完成练习1，体会数学归纳法的步骤。 【思考1】 试问等式2+4+6+……+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 设n＝k时成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，n＝k+1时也成立 所以等式对任何n∈N*都成立 【思考2】 试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确？ 下面是某同学 用数学归纳法证明等式 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？ 第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求 证明：①当n=1时，左边＝ ②假设n=k时，等式成立， 那么n=k+1时 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立 【想一想】 (1) 第一步，是否可省略？ (2) 第二步，是否可省略？ 【练习2】用数学归纳法证明 【设计意图】让学生体会由n=k到n=k+1,左端变化，主要是为了利用假设进行第二步的证明。也是数学归纳法的关键和难点。 总之，由于本节课教学的难点是：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明，因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设，如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，这样有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．关于这个难点，下节课还要重点的研究。 从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程， ... ...
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