第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 A级 基础巩固 一、选择题 1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( ) A.＝ B. ＜ C. ＝，且＜ D. ＝或＜ 解析：应假设≤，即＝或＜. 答案：D 2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为( ) A．a，b，c，全不为0 B．a，b，c至少有一个为0 C．a，b，c至少有一个不为0 D．a，b，c至多有一个不为0 解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”． 答案：C 3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立． 其中判断正确的命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对； 对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确． 答案：C 4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( ) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2. 答案：C 5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则( ) A．M≥N B．M≤N C．M＞N D．M＜N 解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0， 又a＋b＋c＝1， 所以≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤， 从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)， 所以M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 答案：A 二、填空题 6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为_____． 解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②. 答案：③①② 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是_____． 解析：因为＜＝＜＝1， 所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1 8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为_____． 解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以 M＝＋＋＋…＋ 答案：M＜1 三、解答题 9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2. 证明：(反证法)设≥2，≥2， 则 由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾． 所以，中至少有一个小于2. 10．已知n∈N*，求证：＋＋…＋＜ . 证明：由基本不等式，得＜＝， 所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜，故原不等式成立． B级 能力提升 1．(2018·浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1>1，则( ) A．a1
a3，a2a4 D．a1>a3，a2>a4 解析：构造不等式ln x≤x－1， 则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1， 所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0. 若q≤－1，则ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0. 又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1， 所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾． 因此－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0， 所以a1>a3，a2