新高考江苏专用(含2019年高考题)一轮复习第十九章 19.1 计数原理与排列组合(课件47张)

课件47张PPT。第十九章　计数原理 §19.1　计数原理与排列组合 高考数学 (江苏省专用)五年高考A组????自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数. (1)求f3(2), f4(2)的值; (2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析　本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查求解能力和推理论证能力. (1)解法一:记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. 解法二:记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对1,2,3,4的排列,若1在首位,则2,3,4的排列逆序数为2,τ(1342)=2,τ(1423)=2.若1在第二个位置,则首位只能是2,3,如果首位是2,则只能是τ(2143)=2,如果首位是3,则只能是τ(3124)=2.若1在第三个位置,则只能是τ(2314)=2,因此, f4(2)=2+1+1+1=5. (2)解法一:对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列, 所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 当n≥5时, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=?. 因此,当n≥5时, fn(2)=?. 解法二:对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列, 所以fn(1)=n-1. 为计算fn+1(2),若1在首位,则2,3,…,n的排列逆序数为2的排列必有fn(2)个.若1在第二个位置,则首位只能是2或3,如果首位是2,则3,4,…,n的排列逆序数为1的排列必有fn-1(1)=(n-2)个,如果首位是3,则2,4,…,n的排列逆序数为0的排列必有fn-1(0)=1个.若1在第三个位置,则只有τ(2314…n)=2, 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn+1(1)+fn-1(0)+1=fn(2)+n. 当n≥5时, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=?. 因此,当n≥5时, fn(2)=?.2.(2016江苏,23,10分) (1)求7?-4?的值; (2)设m,n∈N*,n≥m,求证: (m+1)?+(m+2)?+(m+3)?+…+n?+(n+1)?=(m+1)?.解析　本题主要考查组合数及其性质等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)7?-4?=7×?-4×?=0. (2)证法一:当n=m时,结论显然成立.当n>m时, (k+1)?=? =(m+1)·? =(m+1)?,k=m+1,m+2,…,n. 又因为?+?=?, 所以(k+1)?=(m+1)(?-?),k=m+1,m+2,…,n. 因此,(m+1)?+(m+2)?+(m+3)?+…+(n+1)? =(m+1)?+[(m+2)?+(m+3)?+…+(n+1)?] =(m+1)?+(m+1)[(?-?)+(?-?)+…+(?-?)]=(m+1)?. 证法二:因为(k+1)?=(m+1)?, 所以(m+1)?+(m+2)?+(m+3)?+…+n?+(n+1)?=(m+1)?+(m+1)?+…+(m+1)? =(m+1)(?+?+?+…+?). 又因为?+?=?,所以?+?+?+…+?=?+?+?+…+? =?+?+…+?=…=?, 所以(m+1)?+(m+2)?+(m+3)?+…+n?+(n+1)?=(m+1)?. 证法三:(数学归纳法) 对任意的m∈N*, ①当n=m时,左边=(m+1)=?=m+1,右边=(m+1)?=m+1,等式成立. ②假设n=k(k≥m)时等式成立, 即(m+1)?+(m+2)?+(m+3)?+…+k?+(k+1)?=(m+1)?. 则当n=k+1时, ... ...