（浙江版）2020年高考数学一轮复习：利用导数研究函数的单调性（讲解）

（浙江版）2020年高考数学一轮复习：利用导数研究函数的单调性（讲解） 第三章 导 数 利用导数研究函数的单调性 1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 2. 高考预测： （1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 3.备考重点： （1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础； （）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 知识点1．利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 【典例1】（2019年高考北京理）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=_____；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围. 若函数为奇函数，则即， 即对任意的恒成立， 则，得. 若函数是R上的增函数，则在R上恒成立， 即在R上恒成立， 又，则， 即实数的取值范围是. 【规律方法】 利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 【变式1】（2019·浙江高考模拟）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得：即 令F（x）=x2f（x），则当 时，得 即上是减函数， 即不等式等价为 在 是减函数，∴由F 得， ，即 故选B． 考点1 判断或证明函数的单调性 【典例2】（2019·天津高三期中（理））已知函数，。 （Ⅰ）若 ，求的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性。 【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 (Ⅰ)由题意可得：，故，∴. (Ⅱ)∵函数，其中a>1， ∴f(x)的定义域为(0,+∞)，， 令f′(x)=0,得x1=1,x2=a?1. ①若a?1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增. ②若00得，01. 故f(x)在(a?1,1)单调递减,在(0,a?1),(1,+∞)单调递增. ③若a?1>1，即a>2时， 由f′(x)<0得,10得，0a?1. 故f(x)在(1,a?1)单调递减,在(0,1),(a?1,+∞)单调递增. 综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增； 当12时,f(x)在(1,a?1)单调递减,在(0,1),(a?1,+∞)单调递增. 【易错提醒】 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域. 2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 【变式2】（2018届河南省洛阳市第三次统考）已知函数，其中. （1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由； （2）讨论函数的单调性. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 （1）由于. 假设函数的图象与轴相切于点， 则有，即. 显然，将代入方程中， 得.显然此方程无解. 故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切. （2）由于， 当时，，当时，，递增， 当时，，递减； 当时，由得或， ①当时，， 当时，，递增， 当时，，递减， 当，，递增； ②当时，，递增； ③当时，， 当时，， ... ...