1.3.3 函数奇偶性 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 1.3.2　奇偶性 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提示：注意函数奇偶性定义中x的任意性，不能认为某个(或某些)x使定义中的等式成立，这个函数就是奇函数或偶函数. 2.奇偶函数的图象对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称.反过来，若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数. 3.奇偶性与单调性 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性. (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性. 类型一　函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－2|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝. 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝3－2|－x|＝3－2|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠3}，不关于原点对称. ∴f(x)是非奇非偶函数. 【训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解　(1)f(x)的定义域为{2}，不关于原点对称， ∴f(x)＝＋既不是奇函数，也不是偶函数. (2)由1－x2≥0，得－1≤x≤1. 由|x＋2|－2≠0，得x≠0且x≠－4. 故函数f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称.[来源:学科网] 当x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0， 则f(x)＝＝. ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数. (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 类型二　奇偶函数的图象问题 【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_____. 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5). 答案　(－2，0)∪(2，5) 【训练2】 设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_____. 解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解. ∵当x∈[0，5]时，f(x)<0的解为2