１４６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书） § ２０．２ 条件概率及相互独立事件、ｎ 次独立重复试验的模型 及二项分布 对应学生用书起始页码 Ｐ４０３ 考点一 条件概率及相互独立事件的概率 １．条件概率及其性质 （１）对于任何两个事件 Ａ 和 Ｂ，在已知事件 Ａ 发生的条件 下，事件 Ｂ 发生的概率叫做条件概率，用符号 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）来表示，其 公式为 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ） ． （２）条件概率具有的性质 ①０≤Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）≤１； ②如果 Ｂ 和 Ｃ 是两个互斥事件，则 Ｐ（Ｂ∪Ｃ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ） ＋ Ｐ（Ｃ ｜ Ａ） ． ２．相互独立事件 （１）对于事件 Ａ、Ｂ，若 Ａ 的发生与 Ｂ 的发生互不影响，则称 Ａ、Ｂ 是相互独立事件． （２）若 Ａ 与 Ｂ 相互独立，则 Ｐ （Ｂ ｜ Ａ） ＝ Ｐ （Ｂ），Ｐ （ ＡＢ） ＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）·Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ） ． （３）若 Ａ 与 Ｂ 相互独立，则 Ａ 与 Ｂ，Ａ 与 Ｂ，Ａ 与 Ｂ 也都相互 独立． （４）若 Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），则 Ａ 与 Ｂ 相互独立． 考点二 ｎ次独立重复试验的模型及二项分布 １．独立重复试验 如果在一次试验中，某事件发生的概率为 ｐ，那么在 ｎ 次独 立重复试验中，这个事件恰好发生 ｋ 次的概率为 Ｐｎ （ ｋ） ＝ Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ －ｋ ． ２．二项分布 如果在一次试验中，某事件发生的概率是 ｐ，那么在 ｎ 次独 立重复试验中，这个事件恰好发生 ｋ 次的概率是Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎ· ｐｋ·ｑｎ－ｋ，其中 ｋ＝ ０，１，２，３，…，ｎ，ｑ＝ １－ｐ．于是得到随机变量 ξ 的 概率分布列如下： ξ ０ １ … ｋ … ｎ Ｐ Ｃ０ｎｐ ０ｑｎ Ｃ１ｎ·ｐ １·ｑｎ－１ … Ｃｋｎｐ ｋｑｎ－ｋ … Ｃｎｎｐ ｎｑ０ 由于 Ｃｋｎｐｋｑｎ －ｋ恰好是二项展开式（ ｑ＋ｐ） ｎ ＝ Ｃ０ｎｐ０ｑｎ ＋Ｃ１ｎｐ１ｑｎ －１ ＋ …＋Ｃｋｎ·ｐｋ·ｑｎ －ｋ ＋…＋Ｃｎｎｐｎｑ０ 中的第（ ｋ＋１）项的值，故称随机变 量 ξ 服从二项分布，记作ξ～Ｂ（ｎ，ｐ） ． １．解决概率问题的步骤 第一步，确定事件的性质 等可能事件， 互斥事件， 相互独立事件， ｎ 次独立重复试验， ì ? í ? ? ?? 即将所给 的问题归结为四类事件中的某一类． 第二步，判断事件概率的运算 和事件， 积事件，{ 即判断至少有一 个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理． 第三步，运用公式求得概率． 等可能事件：Ｐ（Ａ）＝ ｍ ｎ ， 互斥事件：Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＢ）＝ ０， 相互独立事件：Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）， ｎ 次独立重复试验：Ｐ（Ｘ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ） ｎ －ｋ， 条件概率：Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ） ． ì ? í ? ? ? ? ? ? ?? ２．方程思想在概率运算中的应用 在概率运算过程中，会经常遇到求两个或三个事件的概 率或确定某参数的值的问题，此时可考虑方程（组）的方法， 借助题中条件列出含有该未知量的方程（组），进而求解． ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 对应学生用书起始页码 Ｐ４０３ 二项分布的解法 １．ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概率求法： ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次可看作 Ｃｋｎ 个互斥 事件的和，其中每一个事件都可看作 ｋ 个 Ａ 事件与（ｎ－ｋ）个 Ａ 事 件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是 ｐｋ（１－ ｐ） ｎ－ｋ（其中 ｐ 为在一次试验中事件 Ａ 发生的概率） ．因此，ｎ 次独 立重复试验中事件 Ａ ... ...
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