中小学教育资源及组卷应用平台 2.2.2 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 3.反函数的概念 对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数y＝ax__(a>0且a≠1)互为反函数. 4.互为反函数的图象的关系 指数函数y＝3x的图象与对数函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称. 5.y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定). 类型一 对数函数的概念 【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(－1)x；③y＝logax2(a>0，且a≠1)；④y＝logx(x>0，且x≠1).其中是对数函数的是_____(填序号). (2)若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( ) A.y＝log2x B.y＝2log4x C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定 解析 (1)由对数函数定义知，②y＝log(－1)x是对数函数.①中对数式log5x后又加1，不是对数函数.③中，真数为x2，不是“x”不是对数函数.④中自变量在底数位置上，不是对数函数. (2)设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x 答案 (1)② (2)A 【训练1】 (1)下列函数是对数函数的是( ) A.y＝loga(2x)(a>0，且a≠1) B.y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1) C.y＝logx(a>0，且a≠1) D.y＝2lg x (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝_____. 解 (1)由对数函数的特征，只有C，y＝logx是对数函数. (2)由a2－5a＋4＝0，得a＝1或a＝4，又2a－1>0且2a－1≠1，∴a>，且a≠1，从而舍去a＝1，故a＝4. 答案 (1)C (2)4 类型二 对数函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域：[来源:学科网ZXXK] (1)y＝lg(x＋1)＋；(2)y＝log(2x－1). 解 (1)要使函数有意义，需即 ∴－1
，且x≠1. 所以函数的定义域为∪(1，＋∞). 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)y＝log(x－2)(5－x).(2)y＝. 解 (1)要使函数有意义，需∴ ∴定义域为(2，3)∪(3，5). (2)要使函数有意义，需log0.5(4x－3)≥0， 即log0.5(4x－3)≥log0.51，故0<4x－3≤1， 解得b>1 D.b>a>1 (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点_____. 解 (1)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知00，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2). 答案 (1)B (2)(0，－2) 类型四 对数值的大小比较 【例4】 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2 ... ... 
