中小学教育资源及组卷应用平台 6高考大题专练之数列整数问题 1.已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为 （1）求数列的通项公式及 （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。 解：（1） 且 （2）解：假设存在，则 即 即 解得： ，代入可得：，解得： 存在，使得成等比数列 2.已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式 （2）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：（1） ① 符合① （2）解： 当为奇数时，为偶数 解得： 当为偶数时，为奇数 解得：（舍） 综上所述： 3.已知各项均为正数的数列满足：，且 （1）设，求数列的通项公式 （2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数 解：（1） 是公比为2的等比数列 （2）解： 若为整数，因为 即 能被整除 所以可得时，能被整除 的最小值是 4.已知数列满足 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式 （2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，试用表示；若不存在，请说明理由 解析：（1） ，即 是公差为的等差数列 即 （2）由（1）及可得： 当时， 成等差数列 即 不成立 当时，成等差数列，同理可得： 设，此时 ，符合题意 综上所述：时，不存在满足条件的 时，存在， 5.已知数列的首项为2，前项的和为，且（）． （1）求的值； （2）设，求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，使得为整数，若存在求出，若不存在说明理由. 【解析】（1）由，易得． （2）由，得， 所以①． 所以②， 由②-①，得． 因为，所以． 所以，即， 即，所以数列是公差为1的等差数列． 因为，所以数列的通项公式为． （3）由（2）知， ，所以， 所以，所以数列是常数列． 由，所以． 则， 注意到，且为12的约数，所以，由知． 6.已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列 （1）求数列的通项公式 （2）求出所有的正整数，使得 解：（1）设前6项的公差为，则 成等比数列， 解得： 时， ，则 时， （2）解：由（1）可得： 则当时， 当时， 当时， 当时， 当时，假设存在，使得 则有即： ，从而无解 时，不存在这样的，使得 综上所述：或 7.已知数列的前项和为，且满足，（）. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 解：（1）在中，令，得： 再令，得： （2）由 ①，可得：② ①②可得： 从第二项开始成等比关系，公比为 而符合上式 （3）解：由（2）得： 且 只需，即 经计算可得：时， 解得： 共有三组符合题意： 8.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有： ，若，则： （1）求数列的通项公式 （2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由 解：（1） ① ② ①②可得： 令，则 令，则 令，则 所以有：，解得： （2）解：假设存在某项及数列中的其他项 ，所以 两边同时除以可得： ，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立 所以不存在这样的项 9.已知数列满足，其中是数列的前项和． （1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式； （2）若，，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 解析：（1）因为 （2）若，则 两式相减可得：时， 为等差数列 可得：，因为 （3）由（2）得 ， 对于给定的，若存在，使得， 只需， 即，即，则， …………12分 取，则， ∴对数列中的任意一项，都存在和使得 10.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项 ... ...
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