中小学教育资源及组卷应用平台 8高考大题专练之立体几何证明题 1．边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，，E是PC上的一点． （Ⅰ）求证：AB//平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）线段为多长时，平面？ 【解析】 （Ⅰ）证明：正方形ABCD中， AB//，又AB平面，平面 所以AB//平面 （Ⅱ）证明：正方形ABCD中，， 平面ABCD，平面ABCD，， 又，所以平面， 平面，平面平面 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以只需可证平面， 在中，可求，，， 2．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点． （1）求证： 平面； （2）若， ，求证： ． 试题解析： 证明：（1）连接交于，连接． 在中，因为， 分别为， 的中点，所以， 又因为平面， 平面，所以平面． （2）直三棱柱，故底面， 平面，所以． 又因为为棱的中点， ，所以， 因为，所以平面，所以， 因为为棱中点，不妨设，所以， 又因为，所以在和中， ， 所以，即，所以， 因为，所以平面， 因为平面，故． 3．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点， 且BF⊥平面ACE. （1）求证：AE⊥BE； （2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点． 求证：MN∥平面DAE． 【答案】同解析 【解析】证明：（1）∵，，∴， 又，，∴，…………………………（3分） 又，∴，又， ∴．…………………………（6分） （2）取的中点，连接， ∵点为线段的中点． ∴∥，且， ……………………（8分） 又四边形是矩形，点为线段的中点，∴∥，且， ∴∥，且，故四边形是平行四边形， ∴∥…………（10分） 而平面，平面，∴∥平面． …………………（12分） 4．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 试题解析：（1）连交于点， 为中点， ， 为中点， ， ，四边形是平行四边形， 4分 ，又平面，平面， 平面. 7分 （2）由（1）知， ，为中点，所以，所以， 9分 又因为底面，而底面，所以， 则由，得，而平面，且， 所以面， 12分 又平面，所以平面平面. 14分 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点． （1）求证：CN⊥AB1； （2）求证：CN//平面AB1M． 试题分析：证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC， ∴BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥CN． ∵AC=BC，N是AB的中点，∴CN⊥AB． 又∵AB∩BB1=B，∴CN⊥平面AB B1A1，∴CN⊥AB1． （2）连结A1B交AB1于P．∵三棱柱ABC-A1B1C1， ∴P是A1B的中点．∵M，N分别是CC1，AB的中点， ∴NP // CM，且NP = CM，∴四边形MCNP是平行四边形， ∴CN//MP．∵CN平面AB1M，MP平面AB1M， ∴CN //平面AB1M． 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点． 求证：（Ⅰ）MN//平面ABCD；（Ⅱ）MN⊥平面B1BG． 【解析】证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE． 由N，E分别为CD1与CD的中点可得 NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分 又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分 所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形所以MN∥AE，……6分 又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……7分 （２）由AG＝DE ，，DA＝AB可得与全等 …10分 所以， 又，所以所以， ………………………12分 又,所以， 又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ……13分 7． 如图所示，凸多面体中，平面，平面，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）作的中点，连接，，∵平面，平面，∴，且平面平面，… 2分∵为三角形的中位线， ∴，，……………… 4分 ∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面． ……6分 （2）∵，为的中点 ∴，又，∴平面， ———… 9分 ∵，∴平面，又平面， ∴平面平面． ... ...
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