中小学教育资源及组卷应用平台 11高考大题专练之立体几何探索型题目 1.四棱锥中，平面平面，是中点 （1）求证：平面 （2）求二面角的平面角的余弦值 （3）在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：过在平面作的垂线交于 为中点 平面平面 平面 以为轴建立空间直角坐标系 （1） 设平面的法向量为 平面 （2）设平面的法向量为 设平面的法向量为 所以二面角的平面角的余弦值为 （3）设 而平面的法向量为 平面 2.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且． （1）证明：∥平面； （2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围． 解： 平面 以为轴建立直角坐标系，设 （1），设平面的法向量为 ∥平面 （2）设平面的法向量为 即 平面的法向量为 由可得 设二面角的平面角为 则 3．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，. （Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【详解】（Ⅰ）因为 平面. 所以，，又. 如图，以为原点建立空间直角坐标系． 由题意得 所以,,. 所以,, 所以,, 所以平面. （Ⅱ）设平面的法向量为， 因为. 所以，即， 令，则. 于是. 因为⊥平面，所以为平面的法向量， 又. 所以. 因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为. （Ⅲ）解：设， ， ，. 设平面的法向量， 则，即 ， 令，，. 于是， 如果直线平面， 那么，解得 . 所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝. (1)求证：PD⊥平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 试题解析: (1)证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又AB⊥AD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD.∴AB⊥PD. 又PA⊥PD，PA∩AB＝A， ∴PD⊥平面PAB. (2)解 取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD. 又∵PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD. ∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO. ∵AC＝CD，∴CO⊥AD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0). 则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1). ＝(－2，－1，0). 设n＝(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量. 由得解得 即n＝. 设PB与平面PCD的夹角为θ. 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝ ＝. (3)解 设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得＝λ，因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).因为BM?平面PCD，所以BM∥平面PCD， 当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝，所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝. 5.已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面 ，分别是线段的中点 （1）求证： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由 （3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值 解：因为平面，且四边形是矩形 以为轴建立空间直角坐标系，设 （1） （2）设 设平面的法向量为 平面 解得 存在点，为的四等分点（靠近） （3）底面 在底面的投影为 为与平面所成的角，即 为等腰直角三角形 即 平面的法向量为 平面为平面，所以平面的法向量为 设二面角的平面角为，可知为锐角 6．在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成的二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：∵， 是的中点，∴， 又平面，∴， ... ...
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