3.3排序不等式 一、教学目标 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 四、教学难点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 五、教学过程 （一）导入新课 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花_____元，最多要花_____元． 【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19. 所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】 19 25 （二）讲授新课 教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和． 教材整理2 排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和． （三）重难点精讲 题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)≥≥； (2)＋＋≥＋＋. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a≥b>0，于是≤. 又c>0，∴>0，从而≥， 同理，∵b≥c>0，于是≤， ∴a>0，∴>0，于是得≥， 从而≥≥. (2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0， ∴≥≥，a2≥b2≥c2. 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 ＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋， 故＋＋≥＋＋. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． [再练一题][来源:学.科.网] 1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋. 【证明】 ∵a≥b≥c≥0， ∴a5≥b5≥c5， ≥≥＞0. ∴≥≥， ∴≥≥，由顺序和≥乱序和得 ＋＋≥＋＋[来源:Zxxk.Com] ＝＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明 例2设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋. 【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式； (2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明． 【自主解答】 不妨设0
