3.3.2 简单线性规划问题 教学目标 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;? 2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. 教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解 教学过程 第2课时? 导入新课 师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.? 师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.? 生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;? （2）设t=0，画出直线l0;? (3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;? (4)最后求得目标函数的最大值及最小值. 推进新课 师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.? 师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.? 解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组 得C（,），? 令t=300x+900y，? 即,? 欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.? 师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.? 师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.? 解：可行域如图所示.? 四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组? 得点C的坐标为（,).? 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70, y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.? 师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.? 师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.? 解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；? 不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.? 可行域如右图所示.? 作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).? ∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.? 由图可知：? 当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.? 师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：? （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；? （2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；? （3）在可行域内求目标函数的最优解.? 师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.? （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 ［教师精讲］? 师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组表示的平面区域如右图所示：? 当x=0,y=0时，z=2x+y=0，? 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.? 作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.? 可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.? 所以z max=2×2-1=3.? （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.? 从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.? 所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.? ［知识拓展］? 某工厂生产甲、乙两种产品 ... ...
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