中小学教育资源及组卷应用平台 16高考大题专练之解析几何图形转化问题 1.已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1） 椭圆方程为： （2）设，由（1）可得： 为△的垂心 设 由为△的垂心可得： ① 因为在直线上 ，代入①可得： 即 ② 考虑联立方程： 得． ,．代入②可得： 解得：或 当时，△不存在，故舍去 当时，所求直线存在，直线的方程为 2.已知椭圆的离心率，且短半轴为其左右焦点，是椭圆上动点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当时，求面积； （Ⅲ）求取值范围． 【解析】（Ⅰ） ∴椭圆方程为 （Ⅱ）设, ∵，在 中，由余弦定理得： ∴ ∴ （Ⅲ）设 ,则 ，即 ∵ ,∴ ∴ ∵ ,∴ 故 3.如图，椭圆的一个焦点是 ，为坐标原点. （1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有, 求的取值范围. 解：（1）由图可得： 由正三角形性质可得： 椭圆方程为： （2）设， 为钝角 联立直线与椭圆方程：，整理可得： 恒成立 即恒成立 解得： 的取值范围是 4．在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形． 求椭圆的标准方程； 过椭圆内一点的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若，求证：为定值，并求出此定值． 【解析】（1）因为长轴为8，所以， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以，由于椭圆焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设，由 得， 所以， ，因为上，所以得到， 得到； 同理，由可得， 所以m，n可看作是关于x的方程的两个根， 所以，为定值. 5.设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 （1）求椭圆的方程； （2）设为直线上不同于点的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 解：（1）依题意可得，且到 右焦点距离的最小值为 可解得： 椭圆方程为 （2）由（1）可得，设直线的斜率分别为， ，则 联立与椭圆方程可得： ，消去可得： ，即 设，因为在直线上，所以，即 为锐角， 为钝角 在以为直径的圆内 6．设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值. 【解析】（I）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而， 所以，由题设得，，， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. （II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,,. 由得,. 则，. 所以. 同理： 故(定值) 7.如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点，设 ，不妨设 则 设 考虑联立直线与抛物线方程： ，消去可得： ① 联立直线与椭圆方程：，整理可得： ② 由①②可得： ，解得： 所以存在满足条件的直线，其方程为： 8．如图，椭圆C方程为（）,点为椭圆C的左、右顶点。 （1）若椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的标准方程； （2）若直线与（1）中所述椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且满足,求证：直线过定点，并求出该点的坐标。 解：（1） 由题意知椭圆的标准方程为 （2）设，由…….（1） 联立方程 带入（1）式整理的 所 ... ...
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