3.1.1 方程的根与函数的零点 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 3.1.1　方程的根与函数的零点 |xx|k.Com] 1.函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. 3.函数零点存在的判定方法 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 　判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立. 类型一　求函数的零点 【例1】 指出下列函数的零点： (1)f(x)＝x2－3x＋2的零点是_____； (2)f(x)＝x4－1的零点是_____； (3)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝_____，b＝_____. 解析　(1)令f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0，所以零点为1和2. (2)由x4－1＝0，得(x2＋1)(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝±1，所以函数f(x)＝x4－1的零点是1和－1. (3)由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点2和3，所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6. 答案　(1)1和2　(2)1和－1　(3)5 －6 【训练1】 (1)函数f(x)＝2x－1的零点是_____； (2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是_____. 解析　(1)由2x－1＝0，得x＝0，故函数的零点为0. (2)因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a. 所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1).所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，即函数g(x)的零点为－1和0. 答案　(1)0　(2)－1和0 类型二　判断函数零点所在区间 【例2】（1）在下列区间中函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A. B. C. D. (2)若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝_____. 解析　(1)∵f＝－2＜0，f＝－1＞0， ∴f·f＜0，∴零点在上. (2)∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数， ∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点. ∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0， ∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2，3)内， ∴n＝2. 答案　(1)C　(2)2 【训练2】方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是(　　) A.(－∞，0) B.(0.1，1) C.(1，2) D.(2，4) 解析　由于lg x有意义，所以x>0，令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点. 答案　B 类型三　函数零点个数的判断 【例3】 (1)判断函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数. (2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数. 解　(1)对于方程x2＋x－b2＝0，因为Δ＝12＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点. (2)　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， ∴f(1)·f(2)＜0， 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个. 【训练3】函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0， f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0， ∴f(x)在(0，1)内有零点. 答案　C 课时同步训练 1.下列函数没有零点的是(　　) A.f(x)＝0 B.f(x)＝3 C.f(x)＝x2－2 D.f(x)＝x－ 解析　函数f(x)＝3不能满足f(x)＝0，因此没有零点；函数f(x)＝0有无数个零点；函数f(x)＝x2－2有两个零点，为±；函数f(x)＝x－有两个零点，为±1. 答案　B 2.若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点 ... ...