§2.8 函数与方程 考纲展示? 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 考点1 函数零点所在区间的判定 1.函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，把使_____成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与_____有交点?函数y＝f(x)有_____． 3．函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____，那么函数y＝f(x)在区间_____上有零点，即存在c∈(a，b)，使得_____，这个_____也就是方程f(x)＝0的根． 4．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且_____的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_____，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数． (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的_____． (2)若图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有_____零点． 二次函数的零点． (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是_____． (2)函数y＝(k－8)x2＋x＋1至多有一个零点，则k的取值范围为_____． [典题1] (1)[2019·湖北四地七校联盟高三联考]函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( ) A. B． C. D． (2)[2019·浙江温州模拟]如图是二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝ex＋f′(x)的零点所在的大致区间是( ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) (3)[2019·浙江嘉兴模拟]设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是_____． [点石成金] 确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)f(b)<0时，函数在区间(a，b)上至少有一个零点． (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点． 考点2 判断函数零点个数 (1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)[教材习题改编]用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是_____． 函数零点个数的判断方法：直接求零点；零点存在性定理；图象交点个数． (1)若函数f(x)＝ax＋b的一个零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是_____． (2)给出三个区间，，，则函数f(x)＝x＋ln x的零点所在的一个区间是_____． [典题2] (1)[2019·安徽合肥模拟]若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上的根的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 数形 (2)[2019·湖南衡阳模拟]函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图①所示；函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图②所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( ) A．14 B．12 C．10 D．8 [点石成金] 判断函数零点个数的三种方法 (1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的 ... ...
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