知识 一、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 2．幂函数的结构特征 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1． 3．幂函数与指数函数的区别与联系 函数 解析式 相同点 不同点 指数函数 右边都是幂的形式 指数是自变量，底数是常数 幂函数 底数是_____，指数是_____ 二、幂函数的图象与性质 1．几个常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同． 2．幂函数是常数）的指数对图象的影响 （1）当_____时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； （2）当_____时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象； （3）当_____时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大． 具体如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1） 过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 3．常用结论 （1）幂函数在_____ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_____． （3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_____． （4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_____． （5）幂函数在第四象限无图象． 知识参考答案： 一、3．自变量 常数 二、2．（1） （2） （3） 3．（1） （2） （3） 递增 （4） 递减 重点 重点 1．幂函数的定义、图象与性质； 难点 1．幂函数的性质； 易错 1．要正确区分幂函数和指数函数； 2．根据幂函数的定义求参数的值时，一定要把求出的参数的值代入题目中进行取舍． 1．重点———幂函数的定义 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足： （1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 【例1】已知幂函数的图象过点（2， ），试求该函数的解析式． 【答案】． 【名师点睛】虽然幂函数（是常数）和指数函数都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数为自变量，指数为常数；指数函数以幂的底数为常数，指数为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决． 2．幂函数的图象 要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道： （1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． （2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． 【例2】已知函数，，的图象如图所示，则实数的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取，结合图象可知，又函数是增函数，于是． 3．幂函数性质的应用 （1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化； （2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等． 【例3】如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集． 【答案】函数的解析式是，不等式的解集为． 【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数（是常数），由于的取值不同，所以相应 ... ...
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