集合的并、交、补运算 【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及?U(A∪B)． [解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}． 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( ) A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4} D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{4}．] 集合关系和运算中的参数问题 【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？ [解] (1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴?RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(?RA)∪B＝R， ∴ ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在． 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的问题转化为A?B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面. 2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求实数k的取值范围. [解] 由于B?A，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以k的取值范围是. 充分条件与必要条件 【例3】 已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤. [解] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c. 先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤. 再证充分性： 因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}， y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1. 即充分性成立． 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为_____． －或 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－. 由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝. 综上可知，a＝－或a＝.] 全称量词与存在量词 【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 (2)命题p：“?x∈R，x2＞0”，则( ) A．p是假命题；p：?x∈R，x2＜0 B．p是假命题；p：?x∈R，x2≤0 C．p是真命题；p：?x∈R，x2＜0 D．p是真命题；p：?x∈R，x2≤0 (1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C. (2)由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“?x∈R，x2＞0” ... ...
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