课件30张PPT。第2课时 利用向量证明空间中的垂直关系【思考】若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2=(1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么? 答案l1与l2垂直,因为μ1·μ2=1-3+2=0,所以μ1⊥μ2,又μ1,μ2是两直线的方向向量,所以l1与l2垂直. 垂直关系与方向向量、法向量的关系【做一做1】 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( ) A.l1∥l2 B.l1与l2相交,但不垂直 C.l1⊥l2 D.不能确定 解析因为a·b=0,所以a⊥b,故l1⊥l2. 答案C 【做一做2】 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5 C.4 D.-2 解析因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 答案B做一做3】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. ( ) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( ) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( ) (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( ) (5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( ) 答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√探究一探究二探究三当堂检测探究一利用向量方法证明线线垂直 例1 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三当堂检测证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC. 探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),探究一探究二探究三当堂检测探究二利用向量方法证明线面垂直 例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明 与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明 与法向量共线,从而证得结论.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得 ... ...
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