第4章 2 实际问题的函数建模

§2　实际问题的函数建模 学习目标　1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题． 知识点一　实际问题的函数刻画 思考　世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？ 答案　先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式． 梳理　设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 知识点二　用函数模型解决实际问题 思考　函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？ 答案　先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决． 梳理　用函数模型解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 知识点三　数据拟合 思考　自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？ 答案　函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合． 梳理　数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤： ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． 1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(　×　) 2．用来拟合散点图的函数图像一定要经过所有散点．(　×　) 3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(　×　) 4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　×　) 类型一　利用已知函数模型求解实际问题 例1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程． 考点　函数模型的应用 题点　一次、二次函数模型的应用 解　因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝ (h)，所以0≤t≤. 因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120t，所以，火车行驶的总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t.2h内火车行驶的路程S＝13＋120×＝233(km)． 反思与感悟　在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质． 跟踪训练1　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽_____米． 考点　函数模 ... ...