§6.3 等比数列及其前n项和 考纲展示? 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 考点1 等比数列的判定与证明 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比等于_____(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项： 如果a，G，b成等比数列，那么_____叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?_____. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_____. (2)前n项和公式：Sn＝ [典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [点石成金] 等比数列的四种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列． [提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 考点2 等比数列的基本运算 (1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝_____. (2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝_____. 等比数列的两个非零量：项；公比． (1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于_____． (2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝_____. [考情聚焦] 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题． 主要有以下几个命题角度： 角度一 求首项a1，公比q或项数n [典题2] [2019·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 角度二 求通项或特定项 [典题3] [2019·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an＝_____. 角度三 求前n项和 [典题4] (1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( ) A. B．31 C. D．以上都不正确 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝_____. [点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 考点3 等比数列的性质 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·_____(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝_____＝_____. (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成 ... ...
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