一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法 —知识讲解（基础） 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程/，当/时，/. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：/． ①当/时，原方程有两个不等的实数根/； ②当/时，原方程有两个相等的实数根/； ③当/时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程/的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出/的值； ④若/，则利用公式/求出原方程的解； 若/，则原方程无实根. 要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程/，用配方法将其变形为：/. ①当/时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：/. ② 当/时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：/. ③ 当/时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】 类型一、公式法解一元二次方程 /1.用公式法解下列方程． (1) x2+3x+1=0； (2)/； (3) 2x2+3x-1=0． 【答案与解析】 (1) a=1，b=3，c=1 ∴x=/=/． ∴x1=/，x2=/． (2)原方程化为一般形式，得/． ∵/，/，/， ∴/． ∴/，即/，/． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=17＞0 ∴x=/ ∴x1=/，x2=/． 【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算/的值；(3)若/是非负数，用公式法求解． 举一反三： 【变式】用公式法解方程：（2018?武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2； ∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17； ∴x=/ =/， ∴x1=/，x2=/． /2．用公式法解下列方程： (1) （2018?武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2018秋?开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ； （3）（2018?黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0． 【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【答案与解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0， ∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x=/=/=/， ∴x1=/，x2=/． (2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=/， ∴x1=/，x2=/ （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b2﹣4ac=9+28=37. x=/ = /， 解得 x1=/，x2=/． 【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在/的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三： 【变式】用公式法解下列方程： /； 【答案】解 ... ...
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