第三章 概率 3.3 几何概型 知识 1．几何概型 （1）几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. （2）几何概型的特点 ①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有_____多个. ②每个基本事件发生的可能性_____. （3）古典概型与几何概型的异同点 相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.? 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关. 2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件的概率的计算公式为：_____. 3．均匀随机数的产生 （1）均匀随机数的定义 在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是上的均匀随机数. （2）均匀随机数的特征 由均匀随机数的定义,可得随机数的特征： ①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等. （3）上的均匀随机数 利用计算器的RAND（ ）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟. 用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示： 知识参考答案： 1．（2）①无限 ②相等 2． 重点 重点 理解几何概型的概念及基本特点，掌握概率的计算公式 难点 理解几何概型的概念及基本特点 易错 几何概型中测度的选取容易弄错，导致计算错误 1．与长度有关的几何概型的求法 求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等. 注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率. 【例1】从区间中随机选取一个实数，则函数有零点的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,令，则. 若函数有零点，即方程有实根，即方程有大于零的实根.由根与系数的关系得，故方程的两个根同号，则，解得.又因为，解得或.综上所述，满足题意的的取值范围是. 故由几何概型可知函数有零点的概率是. 故本题正确答案为A. 【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数有零点，通过换元，转化为方程有大于零的实根，由，且，解得，由几何概型可知函数有零点的概率是. 2．与面积有关的几何概型的求法 求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法. 【例2】已知一个三角形的三边长分别是，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， ∵三角形的三边长分别是，∴三角形的高，则三角形ABC的面积. 易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分， 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为，故选D. 【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论. 3．与体积有关的几何概型的求法 用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构 ... ...
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