课件22张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1.了解空间向量的正交分解的含义. 2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些简单问题. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1.设i,j,k是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使得p=xi+yj+zk,我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.3.如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任何 三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到 .由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3. 我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).【做一做1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )解析:只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底. 答案:C答案:C 【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是 . 答案:(3,2,-1),(-2,4,2)1.空间向量基本定理的证明 (2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.(4)空间任一点P的坐标的确定.过点P作平面xOy的垂线,垂足为点P',在平面xOy中,过点P'分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A,C,则|x|=|P'C|,|y|=|AP'|,|z|=|PP'|,如图所示.题型一题型二题型三基底的概念 【例1】 若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底. 分析:解答本题可以使用反证法,判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底. 解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ和μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=μa+λb+(λ+μ)c. ? ? ? ∴a+b,b+c,c+a不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.题型一题型二题型三反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看它们是否共面,常用反证法来判断.题型一题型二题型三【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型一题型二题型三解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底. z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底. ④假设a+b,b+c,a+b+c共面, 则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc,故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底. 答案:C题型一题型二题型三用基底 ... ...
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