第一章 空间几何体 空间几何体的三视图与直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化． 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) A B C D 【思路点拨】 【解析】 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合． 【答案】 B 如图1－2，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 【解析】 由三视图可知该几何体为一个平行六面体(如图)， 其底面是边长为3的正方形，高为＝，所以该几 何体的体积为9，故选B. 【答案】 B 空间几何体的表面积、体积 1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 2．常见的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解． (2)割补法：割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． (3)等体积变换法：等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积． 已知三棱锥A－BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A－BCD的每个面都相切，即球心O到A－BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A－BCD的体积． 【思路点拨】 分析三棱锥A－BCD的体积与以O为顶点，各个面为底面的4个小棱锥体积间的关系． 【规范解答】 连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A－BCD被分割成为四个小三棱锥：O－ABC，O－ABD，O－ACD，O－BCD， 并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BCD. 故有VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD ＝S△ABC·r＋S△ABD·r＋S△ACD·r＋S△BCD·r ＝(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝Sr. 某三棱锥的三视图如图1－3所示，该三棱锥的表面积是 ( ) 图1－3 A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 【解析】 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示． 图(1) 图(2) S△ACD＝×AC×DM＝×5×4＝10.S△ABC＝×AC×BC＝×5×4＝10. 在△CMB中，∠C＝90°，∴|BM|＝5. ∵DM⊥面ABC，∴∠DMB＝90°，∴|DB|＝＝， ∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝×5×4＝10. 在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝×2×6＝6，∴S表＝10＋10＋10＋6＝30＋6.故选B. 【答案】 B 思想方法 1.转化与化归思想 转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或者说未知解的问题)转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种数学意识．立体几何中的有关问题，一般转化为平面问题来解决，其途径主要有以下两种：一是多面体常转化到它的底面、侧面、对角面内，而旋转体主要是利用轴截面；二是将多面体的表面或旋转体的侧面展开． 如图1－4，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长． 图1－4 【思路点拨】 → 【规范解答】 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图． 三个图形(1)(2)(3)中AC1的长分别为： ＝， ＝， ＝. ∵a＞b＞c＞0. ∴ab＞ac＞bc＞0. 故最短线路的长为. 圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为( ) A．10 cm B. cm C．5 cm D ... ...
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