2.4.2 抛物线的几何性质(二) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线与抛物线位置关系的判断. 2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识. 3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题. 通过学习直线与抛物线的位置关系有关求值的证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 直线与抛物线的位置关系及判定 位置关系 公共点 判定方法 相交 有两个 或一个 公共点 k＝0或 联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ 相切 有且只 有一个 公共点 Δ＝0 相离 无公共点 Δ＜0 1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 D [当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的． 当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．] 2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) A．－ B．－1 C．－ D．－ C [由点A(－2,3)在y2＝2px的准线x＝－上得p＝4，∴F(2,0)，∴kAF＝－，故选C.] 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝_____. 8 [|AB|＝2＝2(3＋1)＝8.] 直线与抛物线的位置关系 【例1】 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ [解] 由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组(*) 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① (1)当k＝0时，由方程①得y＝1. 把y＝1代入y2＝4x，得x＝. 这时，直线l与抛物线只有一个公共点. (2)当k≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1)． ①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0， 解得k＝－1，或k＝. 于是，当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点． ②由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－10， 解得k<－1，或k>. 于是，当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点． 综上，我们可得 当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当－1时，直线l与抛物线没有公共点． 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况. 1．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值． [证明] 设kAB＝k(k≠0)， ∵直线AB，AC的倾斜角互补， ∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2. 由方程组 消去y后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解． ∴4·xB＝，即xB＝. 以－k代换xB中的k， 得xC＝， ∴kBC＝ ＝ ＝＝ ＝－. ∴直线BC的斜率为定值. 与抛物线有关的中点弦问题 [探究问题] 对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？ [提示] (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解． (2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率． 【例2】 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平 ... ...
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