1.3.2 杨辉三角 学习目标：1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用． 教材整理1 杨辉三角 阅读教材P29，完成下列问题． 杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为_____． 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 …… 【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1. 【答案】 2n－1 2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第_____行从左到右第14与第15个数之比为2∶3. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 【解析】 设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3， 则3C＝2C， 即＝， 解得n＝34. 【答案】 34 教材整理2 二项式系数的性质 阅读教材P29后半部分，完成下列问题． 1．每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和． 2．每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等． 3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大． 4．二项展开式的二项式系数的和等于2n. 1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_____． 【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8. 【答案】 8 2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于_____． 【解析】 二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5. 【答案】 5 3．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_____． 【解析】 因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， 再令x＝－1，得 310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10， 两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 【答案】 与“杨辉三角”有关的问题 【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值． 【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 【解】 S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274. “杨辉三角”问题解决的一般方法 观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示： 1．如图所示，满足如下条件： ①第n行首尾两数均为n； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”． 则第10行的第2个数是_____，第n行的第2个数是_____． 【解析】 由图表可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46， 第n行的第2个数为： [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝. 【答案】 46 求展开式的系数和 【例2】 设(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019·x2 019(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 019的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值． 【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． 【解】 (1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝(－1)2 019＝－1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝ ... ...
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