3.3 幂函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点) 通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养. 1．幂函数的概念 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象和性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递 增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象不经过第四象限． ( ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点． ( ) (3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限． (2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误． (3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． 2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝_____. 3 [由题意得所以m＋n＝3.] 3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝_____. －8 [8＝2α，所以α＝3， 所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.] 幂函数的概念 【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 思路点拨：由幂函数的定义列式求解． [解] 由题意得解得 ∴m＝－3，n＝为所求． 1．幂函数y＝xα要满足三个特征 (1)幂xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项． 2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. 1．下列函数是幂函数的有_____．(填序号) ①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝x. ③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．] 2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝_____. [由题知2α＝＝2，∴α＝－. ∴f(x)＝x， ∴f(100)＝100＝＝.] 比较大小 【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)与；(2)与； (3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4. 思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较． [解] (1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且>， ∴>. (2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 且－<－， ∴>. (3)0.25＝＝2， 6.25＝2.5. ∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25. (4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4. 比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数； (2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数； (3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． 3．比较下列各组中两个数的大小： (1)3，3.1； (2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)； (3)(－0.88)，(－0.89). [解] (1)因为函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1. (2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a， 所以(a＋1)1.5＞a1.5. (3)函数y＝x 在R上为增函数， 所以(－0.88)＞(－0.89). 幂函数的图象与性质 [探究问题] 1．做幂函数y＝x的图象应该怎么做？ [提示] ①因为0<<1，故函数y＝x在第一象限内是单调递 ... ...
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