苏教版数学必修4（课件40+教案+练习）2.2.3　向量的数乘

2.2.3　向量的数乘 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 一、向量的数乘定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0. 实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘． 思考：λa＝0，一定能得到λ＝0吗？ [提示]　不一定．λa＝0则λ＝0或a＝0. 二、向量数乘的运算律 1．λ(μa)＝(λμ)a； 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa； 3．λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、向量共线定理 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 1．思考辨析 (1)a＝0，则λa＝0.(　　) (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．(　　) (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．5×(－4a)＝_____. －20a　[5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.] 3．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝_____. 4e1　[a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.] 4．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是_____． ①a＝2e1，b＝2e2； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. ②③　[∵e1与e2不共线，∴①不正确； 对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．] 向量数乘的基本运算 【例1】　计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 思路点拨：利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并． [解]　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－a＋b＋a ＝a＋b－a－b－a－b－a＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b. 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解. 1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝_____. －16i＋j　[原式＝a－b－3a－2b＋2b－a ＝－a－b ＝－(3i－4j)－(5i＋4j) ＝(－11－5)i＋j ＝－16i＋j.] 向量的共线问题 【例2】　已知非零向量e1，e2不共线. (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 思路点拨：对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． [解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． 2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据． 2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值． [解]　＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2. 因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2. 由向 ... ...