1.1 任意角、弧度 1.1.1 任意角 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点) 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 一、任意角的概念 1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转所形成的角 负角 按顺时针方向旋转所形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角． 二、象限角与轴线角 1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2．轴线角：终边在坐标轴上的角． 三、终边相同的角 与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？ [提示] 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一． 1．思考辨析 (1)180°是第二象限角．( ) (2)－30°是第四象限角．( ) (3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( ) [解析] (1)×.180°是轴线角． (2)√. (3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角． [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．如图，则α＝_____，β＝_____. 240° －120° [α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.] 3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为_____． {β|β＝k·360°－215°，k∈Z} [由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．] 4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是_____． (－3)×360°＋195° [设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.] 角的概念辨析 【例1】 (1)下列结论： ①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角． 其中正确的结论是_____(填序号)． (2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_____，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为_____． 思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角． (2)由正负角的概念可得角的大小． (1)②④ (2)－25° 395° [(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确． (2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.] 1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． 2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可． 1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_____，分针转过的角的度数为_____． －100° －1 2 ... ...
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