苏教版数学必修4（课件34+教案+练习）1.3.1　三角函数的周期性

1.3　三角函数的图象和性质 1.3.1　三角函数的周期性 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.理解周期函数的定义．(难点) 2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点) 3.会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数的周期： 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由． [提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性． 思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？ [提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 二、正、余弦函数的周期 函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期： 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝. 思考3：6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ [提示]　是． 1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．(　　) (2)周期函数的周期只有唯一一个．(　　) (3)周期函数的周期可以有无数多个．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝sin的周期是_____． 2　[T＝＝2.] 3．函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是_____． 　[T＝＝.] 求三角函数的周期 【例1】　求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝2sin； (2)f(x)＝2cos； (3)y＝|sin x|； (4)f(x)＝－2cos(a≠0)． 思路点拨：利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解． [解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T＝＝π，∴最小正周期为. (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π. (4)T＝＝，∴最小正周期为. 利用公式求y＝Asin?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ?的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为 已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝_____. ±10　[由题意可知＝，ω＝±10.] 周期性的应用 [探究问题] 1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期． 提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)， ∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a. 2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 提示：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a) ＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)的周期为2a. 【例2】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． 思路点拨：  [解]　∵f(x)的最小正周期是π， ∴f＝f＝f. ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin＝， ∴f＝. 1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值． [解]　∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin ＝－，∴f＝－. 2．(变结论)本 ... ...