（新课标）人教B版数学辽宁高一上学期专用（课件35+教案+练习）第6章空间几何体的表面积与体积 章末复习课

空间几何体的表面积与体积 【例1】　(1)底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的侧面面积是_____． (2)已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则这个圆锥的体积为_____． (1)160　(2)12π(cm3)　[(1)依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为＝10，底面的另一条对角线长为＝2. 又菱形的两条对角线互相垂直平分，故底面边长为＝8，则这个直棱柱的侧面面积S侧＝4×8×5＝160. (2)由题意可知，圆锥的轴截面为等腰三角形，其腰长为5 cm，底边上的高为4 cm，所以底边长的一半，即圆锥的底面半径r＝＝3(cm)， 则圆锥的体积V＝πr2h＝π×32×4＝12π(cm3)．] 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧. 1．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　) A．3　　　B.　　　C．1　　　D. C　[在正△ABC中，D为BC的中点， 则有AD＝AB＝， S△DB1C1＝×2×＝. 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A-B1DC1底面上的高． ∴V三棱锥A-B1DC1＝S△DB1C1·AD＝××＝1.] 球的切接问题 【例2】　(1)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为_____． (2)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为_____． (1)1∶∶3　(2)18π　[(1)设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r.如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝＝＝，V正四面体SABC＝××＝.由正四面体的性质知三个球的球心重 合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝，V正四面体SABC＝××r×4＝r＝，所以r＝，R＝，而棱切球的半径为OD＝＝，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为∶∶＝1∶∶3. (2)法一：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝. 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，∴R＝3. 故V半球＝πR3＝18π. 法二：将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，∴R＝a＝3.故V半球＝πR3＝18π.] 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.] 空间中的平行关系 【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． [思路探究]　假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点． [解]　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点．∴OF∥PD. 又OF?平面PMD，PD?平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，∴PF綊MA. ∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM. 又A ... ...