1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点) 1.通过两集合关系的判断，培养学生的数学抽象素养. 2.借助集合关系求参数，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 1．维恩(Venn)图 用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系． 2．集合间的关系 思考1：如何理解子集、真子集的概念？ [提示] (1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性． ①A?B等价于对任意x∈A，都有x∈B； ②AB等价于A?B，且至少有一个元素x∈B，但x?A. (2)A?B包含A＝B和AB两种情况，真子集是子集的特殊情况． 思考2：如何理解两集合相等？ [提示] (1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征． (2)若A?B且B?A，则A＝B，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意x∈A，都有x∈B；反之，对任意x∈B，都有x∈A，这说明集合A等于集合B. 3．子集、真子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A. (3)如果A?B，B?C，则A?C. (4)如果AB，BC，则AC. 4．集合关系与其特征性质之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有 (1)若p(x)?q(x)，则A?B；反之，若A?B，则p(x)?q(x)． (2)若p(x)?q(x)，则A＝B；反之，若A＝B，则p(x)?q(x)． 1．已知集合M＝{8}，集合P＝{1,4,8}，则有( ) A．M＝P B．P?M C．PM D．MP D [因为M＝{8}，P＝{1,4,8}，由真子集的定义知，选D.] 2．集合M＝{1,2,3,4,5}的子集个数是( ) A．32 B．31 C．16 D．15 A [因为M＝{1,2,3,4,5}中有5个元素，所以集合M的子集个数为25＝32个．] 3．已知A＝{1，x,2x}，B＝{1，y，y2}，若A?B，且A?B，则实数x＋y＝_____. 4或 [因为A?B，且A?B，所以A＝B， 所以或 解得或或(舍去) 所以x＋y＝4或.] 两个集合之间关系的判定 【例1】 (1)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示不正确的是( ) A．1∈A B．{－1}∈A C．??A D．{1，－1}?A (2)已知集合M＝{x|y＝x2－2}，集合N＝{y|y＝x2－2}，则集合M，N之间的关系是_____． (3)设集合M＝，N＝xx＝＋n，n∈Z，则集合M，N之间的关系是_____． [思路探究] 由元素关系?集合关系． (1)B (2)NM (3)NM [(1)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，元素与集合之间是“∈”“?”关系， 集合与集合之间是“?”“ ”“＝”关系， 由选项可知A、C、D正确，选项B中应为{－1}A. (2)M＝{x|y＝x2－2}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以NM. (3)N＝xx＝＋n，n∈Z＝xx＝，n∈Z,2n＋1为奇数，而集合M中，M＝xx＝，n∈Z，所以NM.] 1．(变条件)本例(2)中，若P＝{(x，y)|y＝x2－2}，其他条件不变，则P与M，N之间有什么关系？ [解] P＝{(x，y)|y＝x2－2}表示二次函数y＝x2－2上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系． 判断两集合关系的关键及方法 ?1?关键：明确集合中的元素及其属性. ?2?方法：①列举法：将集合中的元素一一列举出来； ②元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断； ③ 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断. 提醒：?1?用描述法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是如果特征性质的本质相同，表示的仍是同一个集合. ?2?用描述法表示集合时，如果特征性质相同，但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集 ... ...
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