4.2 简单线性规划 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点) 2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点) 1.通过学习与线性规划有关的概念培养数学抽象素养． 2．通过研究最优解的方法提升数学运算能力. 简单线性规划 阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题 (1)线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件 关于x，y的一次不等式(组) 目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规 划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 (2)线性规划问题 ①目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b＞0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b＜0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值． ②解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (ⅳ)答：写出答案． 思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？ [提示] 可能唯一，也可能不唯一． (2)若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？ [提示] 由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距． 1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( ) A．－4 B．0 C． D．4 D [作出可行域，如图所示． 联立解得 当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.] 2．若实数x，y满足，则s＝x＋y的最小值为_____． 2 [如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知， 当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时，s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2.] 3．如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为_____． 1 [法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2×1－1＝1. 法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1.] 4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_____，最大值等于_____． [画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min＝，|PO|max＝. ] 线性目标函数 的最值问题 【例1】 若x，y满足约束条件 则z＝x＋y的最大值为_____． [由题意画出可行域(如图所示)， 其中A(－2，－1)，B，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B时，z取最大值. ] 用图解法解决线性规划问题的关键和注意点 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪 ... ...
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