2018-2019学年湖南省衡阳县高二下学期六科联赛数学（理）试题（扫描版）

参考答案 一、选择题 题号 1 2 3[] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B A A D C B B C B 二、填空题 13. 14. 4 15.③ 16. 三、解答题 17.【解析】（1）由，得， 因为，由，得，∴， 由余弦定理，得， 解得或（舍），∴．--6分 （2）由，得，∴，， ∴．--12分 18. 【解析】（1）取的中点为，连结，． 由已知得，为等边三角形，． ∵，，∴， ∴，∴． 又∵平面，平面，∴平面． ∵为的中点，为的中点，∴． 又∵平面，平面，∴平面． ∵，∴平面平面． ∵平面，∴平面．--5分 （2）连结，交于点，连结，由对称性知， 为的中点，且，． ∵平面平面，， ∴平面，，． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 则，，． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，，∴， ∵，，∴． 令，得，，∴， ∴． 设二面角的大小为，则．--12分 19. 【解析】（1）设椭圆的左焦点，则， 又，所以椭圆的方程为．--4分 （2）由，设，， 由，且，， ．--8分 设，则，， 当，即时，有最大值，此时．--12分 20. 【解析】（1）由题意，，则， ∵在点处的切线方程为，∴切线斜率为，则， 得，将代入方程，得：，解得， ∴，将代入得，故.--4分 （2）依题意知函数的定义域是，且， 令得，，令得，， 故的单调增区间为，单调减区间为.--7分 （3）由，在区间内恒成立， 设，则， ∵在内，单调递减，在内，单调递增， ∴的最小值为，∴.--12分 21. 【解析】（1），∴， 又∵，， ∴相关系数， 由于关于的相关系数， 这说明关于的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系； 又，且， ∴，∴回归方程为．--5分 （2），即调查材料最低成本为1800元，此时， 所以．--8分 （3）可能的取值为0，1，2，3， 且；；； ． 所以的分布列为 所以．--12分 22. 【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），--3分 曲线的普通方程为．--5分 （2）设， 点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值， 因为，其中， 当时，的最小值为1，此时．--10分 23. 【解析】（1）根据题意，函数，. 若，则有或，解得， 故原不等式的解集为.--5分 （2）函数， 分析可得的最小值为，即； 则正数，满足，即，. 即的最小值为.--10分 PAGE 2