课件48张PPT。第三章 导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例利润最大求函数的最值效率最高用料最省面积、体积的最值问题 用料(费用)最省问题 利润最大(成本最低)问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.4 生活中的优化问题举例 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点) 借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养. 1．生活中的优化问题 (1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值． 2．用导数解决优化问题的基本思路 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A．7万件 B．9万件 C．11万件 D．13万件 B [设y＝f(x)，即f(x)＝－x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)． 当00，函数y＝f(x)单调递增； 当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减． 因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值． 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．] 2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A．8 B. C．－1 D．－8 C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.] 3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为_____． 40 [y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0， 解得x＝40或x＝－1(舍)． 当040时，y′>0， 所以当x＝40时，函数y＝x3－x2－40x有最小值．] 面积、体积的最值问题 【例1】 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ [思路点拨] ―→ ―→―→ [解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)． 所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)． 令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)． 当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增； 当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减． 因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3. 1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零； (2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等． 1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_____． [设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh， ∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝. 又圆柱的体积V＝πr2h， ＝(S－2πr2)＝， V′(r)＝， 令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r， 因为V′(r)只有一个极值点， 故当h＝2r时圆柱的容积最大． 此时，S＝2π×＋πh2，∴h＝.] 用料(费用)最省问题 【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋 ... ...
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