（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件53+教案+练习）选修2-1 第3章 3.2 3.2.3　直线与平面的夹角

课时分层作业(四十)　直线与平面的夹角 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是(　　) A．∠C1BB1　　　　 B．∠C1BD C．∠C1BD1 D．∠C1BO D　[由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.] 2．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　[设PC与平面PAB所成的角为θ， 则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝.] 3. 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示坐标系，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)， S(0，0，)，E， ∴＝， ＝， ∴cos〈，〉＝＝－. ∴AE、SD所成的角的余弦值为.] 4．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． D　[如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB＝∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上， ∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC， 即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°， ∴cos∠APO＝.] 5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　) A．60° B．90° C．105° D．75° B　[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)， B1，C1(0，，0)， B. ∴＝， ＝， ∴·＝－－1＝0，∴⊥. 即AB1与C1B所成角的大小为90°.] 6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为_____． 45°　[作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO， 则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝. ∴∠CMO＝45°.] 7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是_____． 30°　[连接BC1交B1C于O点，连接A1O. 设正方体棱长为a. 易证BC1⊥平面A1B1CD， ∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影． ∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角． 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， ∴sin∠BA1O＝＝， ∴∠BA1O＝30°. 即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.] 8．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为_____． 30°　[以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz， 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a，0，0)，B(0，a，0)， C(－a，0，0)， P， 从而＝(2a，0，0)， ＝，＝(a，a，0)． 设平面PAC的一个法向量为n可求得n＝(0，1，1)， 则cos〈，n〉＝＝＝. 所以〈，n〉＝60°. 所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.] 9．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值． [解]　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)， 可得＝(－1，1，－2). 又＝(0，0，2)为平面DCEF的一个法向量， 可得cos〈，〉＝＝－. 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 |cos〈，〉|＝. 10．如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小． [解]　如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．连接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H. 设＝(m，m， ... ...