（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件+教案+练习）选修2-1 第3章 3.2 3.2.5　距　离(选学)

课时分层作业(四十二)　距离(选学) (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A．　 B．2　　　C．3　　　D．4 B　[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5.又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2.] 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． A　[＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.] 3．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是(　　) A．13 B．11 C．9 D．7 B　[作PO⊥α于点O，连接OA、OB、OC(图略)，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5， ∴PO＝＝11为所求．] 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　[由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝|·|＝＝a.] 5．已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝. 又＝(1，0，0)，∴在上的投影为＝，∴点P到AB的距离为＝.] 6．已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是_____． 2　[设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.] 7.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_____． 　[建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)． 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则有 解得n＝，则所求距离为＝＝.] 8.如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为_____． 　[由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则， 即，∴可取n＝(1，0，1)．又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.] 9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱锥P-BCD的三视图如图所示，且sin∠BDC＝. (1)求证：AD⊥PB. (2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为，求AD的长． [解]　(1)由三视图得PD⊥平面ABCD. 因为AD?平面ABCD，所以AD⊥PD. 又AD⊥DB，且PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD， 所以AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD＝D， PD，BD?平面PBD，所以AD⊥平面PBD. 又PB?平面PBD，所以AD⊥PB. (2)由(1)知，PD，AD，BD两两垂直， 以D为原点，以DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝λ，λ>0，结合sin∠BDC＝，得：A(λ，0，0)，B(0，3，0)，C，P(0，0，4)， 所以＝(λ，0，－4)，＝，＝(0，0，4)， 设n＝(x，y，z) ... ...