（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件2份+教案+练习）选修2-1 第2章 2.4 2.4.2　抛物线的几何性质

课时分层作业(三十一)　抛物线的几何性质(一) (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y　　　 B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y C　[依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程为x2＝±12y.] 2．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　) A．2　　 B．3　　　　C．4　　　　D．4 C　[双曲线的方程可化为－＝1， ∴双曲线的左焦点为. 又∵抛物线的准线为x＝－， 由题意－＝－，解得p＝4.] 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 B　[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2. ∴由抛物线定义知： |AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.] 4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 B　[由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p，2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.] 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 A　[①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，∴x1x2＝； ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴＝－4. ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k， 联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 则x1x2＝.∴y1y2＝－p2. 故＝－4.] 6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_____． 6　[由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.] 7．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_____． x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.] 8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_____． y2＝5x　[线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0， 与x轴的交点为， ∴抛物线的焦点为， ∴其标准方程是y2＝5x.] 9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程． [解]　依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 则直线方程为y＝－x＋p. 设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD| ＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8.① 又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点， 由消去y，得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2. ∴所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x. 10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． [证明]　(1)由已知得抛物线焦点坐标为. 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2. 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝ ＝(定值)． (3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足 ... ...