（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件50+教案+练习）选修2-1 第3章 3.1 3.1.2　空间向量的基本定理

课时分层作业(三十五)　空间向量的基本定理 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．下列命题中正确的个数是(　　) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线． ②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面． ③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. ④若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底． A．0　　 B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误； ②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③正确； ④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．] 2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　) A．a B．b C．c D．无法确定 C　[∵a＝p＋q，∴a与p、q共面， ∵b＝p－q，∴b与p、q共面， ∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq， ∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.] 3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B　[＝－＝(＋)－ ＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c. 所以应选B.] 4．设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． A　[连接AG1交BC于E，则E为BC中点， ＝(＋) ＝(－2＋)， ＝ ＝(－2＋)， ∵＝3＝3(－)， ∴OG＝OG1， ∴＝＝(＋) ＝(＋－＋) ＝＋＋，故选A.] 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]　A 6．下列命题是真命题的是_____(填序号)． ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一直线上，则与不是共线向量； ③若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上． ①④　[①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.] 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝_____，y＝_____． 1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc， 于是有解得] 8．如图所示，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝_____． 　[＝－＝－， 所以有序实数组(x，y，z)＝.] 9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面， 由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解． 即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 10．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1) ... ...