（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件55+教案+练习）选修2-1 第3章 3.2 3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

课时分层作业(三十九)　平面的法向量与平面的向量表示 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于(　　) A．2　　 B．4　　　　C．－2　　　　D．－4 D　[∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)， ∴λ＝－4.] 2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C． D．－ B　[因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.] 3．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为(　　) A．a＝(－1，2，－2) B．a＝ C．a＝ D．a＝ C　[设平面的法向量为a＝(x，y，z)， 则有∴， 令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝ 故平面ABC的一个单位法向量为a＝.] 4．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A．AB⊥α B．AB?α C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α D　[因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.] 5．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 C　[连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．故选C.] 6．已知l∥α，且l的方向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝_____． 　[∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，∴y＝.] 7．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝_____． 2∶3∶(－4)　[由题意，知＝，＝.由于a为平面α的法向量，所以a·＝0，a·＝0，即，所以，所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．] 8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)． 对于结论： ①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥. 其中正确的是_____(填序号)． ①②③　[·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4) ＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， ∴AP⊥AB，即①正确． ·＝(－1，2，－1)·(4，2，0) ＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0. ∴AP⊥AD，即②正确． 又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD， 即是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．] 9.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. [证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°， 即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． [解]　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． (1)＝(－a，a，e－a)， ＝(－a，－a，0)， ·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴⊥， 即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)． ∴　 即　 取x1 ... ...