1.1.1 命题 （一）教学目标 1.知识与技能： （1）通过对双曲线图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。 （2）熟练掌握双曲线的几何性质，会用双曲线的几何性质解决相应的问题。 （3）理解等轴双曲线的特点与性质 2.过程与方法：通过讲解双曲线的相关性质，理解并会用双曲线的相关性质解决问题。 3.情感、态度与价值观： （1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 （二）教学重点与难点 重点：双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质 难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质 （三）教学过程 活动一：创设情景、引入课题 （5分钟） 问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？ 双曲线的定义？ 两种不同双曲线方程的对比？ 问题2：类比椭圆几何性质，观察双曲线（a>0,>b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？ 点题：今天我们学习“双曲线的简单几何性质” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 1、双曲线的简单几何性质 ①范围：，或； 由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域； ②对称性：关于以轴和轴为对称轴，原点为对称中心； 由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：实顶点：为，；实轴为||=；实半轴长为 虚顶点为，；虚轴为||=；虚半轴长为 圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线； 直线叫做双曲线的渐近线； 问题3：双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？ ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）． 问题4：当时，双曲线方程有什么变化？渐近线？离心率？ 2、等轴双曲线：当时，双曲线为叫等轴双曲线，渐近线为，离心率 问题5：书本P58页思考？ 例3： 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是． 练习：书本P61页练习1 扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为． 练习：书本P61页练习3 活动三：合作学习、探究新知（18分钟） 例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． 引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知， ... ...
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