2.1.5 双曲线的简单几何性质 一、教学目标： 1.知识与技能 (1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系. (2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程. (3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律. 2.过程与方法 (1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力. (2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力. (3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识. 3.情感、态度与价值观 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念. 二、教学重点.难点 重点：双曲线的几何性质及初步运用。 难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。 三、教学方法 本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极 思考，鼓励学生合作交流。 四、教学过程 新课引入 1.创设情境，引入课题 （1）问题情景 师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？ 学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质. 师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容） 注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾. 五、自主学习 1.范围 以为例，只有当|x|≥a时，y才有实数值，而在－a
0,b>0)在不等式组或所表示的区域内. 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线. 2.对称性 分别用（x,－y）、（－x,y）及（－x,－y）代替方程中的（x,y），方程都不改变，说明双曲线关于x轴、y轴、原点对称.因此双曲线是有心圆锥曲线，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心. 3.顶点与实虚轴 双曲线只有两个顶点.的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x=0时，y2=－b2无实数解，即与y轴无交点.实轴长为2a，虚轴长为2b. 在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长. 4.渐近线 （1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x=±a,y=±b围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状. （2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0. （3）焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±; 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±,或由（将1换成0）得到. （4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程. （5）根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的方程的方法. ①与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为(t≠0). ②若双曲线的渐近线方程是y=±,则双曲线的方程可表示为 5.离心率 e=,e>1,它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大. （1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵==,∴e越大，k=越大.∴双曲线开口越大. （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. (3)求离心率是考查重点，常有以下方法 ①求a、c再求e=；②建立关于a、c的齐次方程；③寻找a和e的关系，再求e. 典型例题： 例1：求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 例2：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心 ... ... 
